Twierdzenie

Niech $f$ i $g$ będą wielomianami o współczynnikach rzeczywistych, przy czym $g$ nie jest wielomianem zerowym. Istnieją wtedy jednoznacznie wyznaczone wielomiany $q$ i $r$ o współczynnikach rzeczywistych takie, że dla każdego $x \in \mathbb{R}$ spełnione są warunki:

  1. $f(x)=q(x)*g(x)+r(x)$,
  2. Stopień wielomianu $r$ jest mniejszy od stopnia wielomianu $g$.

Wielomian $q$ nazywamy ilorazem, a $r$ resztą z dzielenia wielomianu $f$ przez $g$. Jeśli jest wielomianem zerowym, to wielomian $f$ jest podzielny przez wielomian $g$.

Twierdzenie Bezoute'a

Liczba rzeczywista $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $f$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $f$ jest podzielny przez dwumian $(x-a)$, tzn. $f(x)-(x-a)*g(x)$.

Twierdzenie Schemat Hornera

Niech $f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}$ będzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Niech $a \in \mathbb{R}$. Niech $b_{n-1}x^{n-1} + b_{n-2}x^{n-2} + ... + b_{1}x + b_{0}$ będzie ilorazem z dzielenia wielomianu $f$ przez dwumian $(x-a)$. Wtedy współczynniki wielomianu $g$ spełniają zależności: $b_{n-1} = a_{n}$, $b_{k} = a{k+1} + a*b_{k+1}$ dla $k = 0, 1, 2, ..., n-2$, a reszta jest rowna $r=a_{0} + a*b_{0}$.

Iloraz a reszta z dzielenia

Niech $k \in \mathbb{R}$. Liczba rzeczywista a jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu $f$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $f$ jest podzielny przez$(x-a)^{k}$ i nie jest podzielny przez $(x-a)^{k+1}$

Przykład: Dla wielomianu $f(x)=(x+2)^{3}(x-5)^{2}(x^{2}+7)$ liczba -2 jest trzykrotnym pierwiastkiem, a liczba 5 jest dwukrotnym pierwiastkiem.

Wielomian $q$ nazywamy ilorazem, a $r$ resztą z dzielenia wielomianu $f$ przez $g$. Jeśli jest wielomianem zerowym, to wielomian $f$ jest podzielny przez wielomian $g$.

Pierwiastek wielomianu

Liczba rzeczywista $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $f$ wtedy i tylko wtedy, gdy $f(a)=0$

Pierwiastek wielomianu $f$ stopnia n jest więc rozwiązaniem równania wielomianowego $a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0} = 0$

Lemat

Niech $n \in \mathbb{N}$. Wielomian n-tego stopnia o współczynnikach rzeczywistych ma co najwyżej n pierwiastków.

Wartość wielomianu

Niech $c \in \mathbb{R}$. Liczbę $f(c) = a_{n}c^{n} + a_{n-1}c^{n-1} + ... + a_{1}c + a_{0}$ nazywamy wartością wielomianu $f$ w punkcie c.