Równania i nierówności trygonometryczne

Klaudia Lendzion

Piotr Kaczmarek

Jakub Kosmala

Dział 1

  • Trochę teorii
  • Sinus - podstawy
  • Cosinus - podstawy
  • Tangens - podstawy
  • Cotangens - podstawy

Trochę teorii

Trójkąt

$sin\alpha=\frac{x}{z}$

$cos\alpha=\frac{y}{z}$

$tg\alpha=\frac{x}{y}$

$ctg\alpha=\frac{y}{x}$

$tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}$

$ctg\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}$

$tg\alpha=\frac{1}{ctg\alpha}$

$ctg\alpha=\frac{1}{tg\alpha}$

$ctg\alpha\cdot tg\alpha=1$
W tej pracy zawarliśmy podstawowe sposoby rozwiązywania równań i nierówności trygonometrycznych. Jednak, aby móc opanować to zagadnienie przypomnijmy sobie kilka własności funkcji trygonometrycznych. Na rysunku wyżej i z zależności wypisanych obok, wiemy jakie stosunki opisują omawiane przez nas funkcje.

Sinus - podstawy

Sinus
$\alpha$ $0^\circ$ $30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$ $90^\circ$
$\sin\alpha$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $1$
Sinusem kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta $\alpha$ do długości przeciwprostokątnej.
Okresowość

$2\pi (360^\circ)$

Funkcja jest nieparzysta

$sin(-\alpha)=-sin\alpha$

Cosinus - podstawy

Cosinus
$\alpha$ $0^\circ$ $30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$ $90^\circ$
$\cos\alpha$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $0$
Cosunisem kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta $\alpha$ do długości przeciwprostokątnej.
Okresowość

$2\pi (360^\circ)$

Funkcja jest parzysta

$cos(-\alpha)=cos\alpha$

Tangens - podstawy

Tangens
$\alpha$ $0^\circ$ $30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$ $90^\circ$
$tg\alpha$ $0$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ $-$
Tangensem kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej kątowi $\alpha$ do długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta.
Okresowość

$\pi (180^\circ)$

Funkcja jest nieparzysta

$tg(-\alpha)=-tg\alpha$

Cotangens - podstawy

Cotangens
$\alpha$ $0^\circ$ $30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$ $90^\circ$
$ctg\alpha$ $-$ $\sqrt{3}$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $0$
Cotangensem kąta $\alpha$ w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długosci przyprostokątnej przyległej do kąta $\alpha$ do długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi.
Okresowość

$\pi (180^\circ)$

Funkcja jest nieparzysta

$ctg(-\alpha)=-ctg\alpha$

Dział 2

  • Wzory i własności
  • Wzory redukcyjne
  • Suma i różnica funkcji
  • Suma i różnica kątów
  • Iloczyn funkcji i wielokrotność kąta

Wzory i własności

W tym dziale przedstawiamy najważniejsze wzory i własności, które będą niezbędne do rozwiązywania równań i nierówności trygonometrycznych. Oczywiście nie będą to wszystkie wzory. Przedstawimy sposób na poradzenie sobie ze wzorami tutaj nieprzedstawionymi. Co więcej pokażemy jak interpretować wzory i jak radzić sobie z kątami większymi od $360^\circ$.

"W pierwszej (ćwiartce) wszystkie są dodatnie,

W drugiej tylko sinus,

W trzeciej tangens i cotangens.

A w czwartej cosinus."

Ćwiartki

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne
Powyższej tabelki nie trzeba się uczyć na pamięć (na szczęście!). Wystarczy znać dwie zasady:

1. Jeżeli dodawany/odejmowany kąt jest parzystą wielokrotnością kąta $90^\circ$ to funkcja nie przechodzi w cofunkcje tzn. sinus zostaje sinusem, cosinus zostaje cosinusem itd. W przypadku gdy wielokrotość ta jest nieparzysta, wtedy funkcja przechodzi w cofunkcje tzn. sinus staje się cosinusem i na odwrót oraz tangens staje się cotangensem i na odwrót.

2. Sprawdzamy, w której ćwiartce znajduje się szukany kąt i korzystamy z wierszyka.

Suma i różnica funkcji

$\large sin\alpha+sin\beta=2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cdot cos(\frac{\alpha-\beta}{2})\\\large cos\alpha+cos\beta=2cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cdot cos(\frac{\alpha-\beta}{2})\\\large tg\alpha+tg\beta=\frac{sin(\alpha+\beta)}{cos\alpha\cdot cos\beta}\\\large ctg\alpha+ctg\beta=\frac{sin(\beta+\alpha)}{sin\alpha\cdot sin\beta}\\\large$
$\large sin{\alpha}-sin{\beta}=2sin{(\frac{\alpha-\beta}{2})}\cdot cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\\\large cos{\alpha}-cos{\beta}=-2sin{(\frac{\alpha-\beta}{2})}\cdot sin{(\frac{\alpha+\beta}{2})}\\\large tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{sin{(\alpha-\beta)}}{cos{\alpha}\cdot cos{\beta}}\\\large ctg{\alpha}-ctg{\beta}=\frac{sin{(\beta-\alpha)}}{sin{\alpha}\cdot sin{\beta}}\\\large sin^2{\alpha}-sin^2{\beta}=cos^2{\beta}-cos^2{\alpha}=sin{(\alpha+\beta)}\cdot sin{(\alpha-\beta)}\\\large cos^2{\alpha}-sin^2{\beta}=cos^2{\beta}-sin^2{\alpha}=cos{(\alpha+\beta)}\cdot cos{(\alpha-\beta)}$
W dalszej części nie będziemy przedstawiać wzorów typu: $tg\alpha+tg\beta$

Ponieważ...

$tg\alpha+tg\beta=$$\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+\frac{sin\beta}{cos\beta}=$$\frac{sin\alpha\cdot cos\beta+sin\beta\cdot cos\alpha}{cos\alpha\cdot cos\beta}=$$\frac{sin(\alpha+\beta)}{cos\alpha\cdot cos\beta}$

Suma i różnica kątów

$\large sin(\alpha+\beta)=sin\alpha\cdot cos\beta+cos\alpha\cdot sin\beta\\\large cos(\alpha+\beta)=cos\alpha\cdot cos\beta-sin\alpha\cdot sin\beta\\\large $
$\large sin(\alpha-\beta)=sin\alpha\cdot cos\beta-cos\alpha\cdot sin\beta\\\large cos(\alpha-\beta)=cos\alpha\cdot cos\beta+sin\alpha\cdot sin\beta\\\large$
Jak w poprzednim przypadku...

$tg(\alpha-\beta)=$$\frac{sin(\alpha-\beta)}{cos(\alpha-\beta)}=$$\frac{sin\alpha\cdot cos\beta-cos\alpha\cdot sin\beta}{cos\alpha\cdot cos\beta+sin\alpha\cdot sin\beta}=$$\frac{cos\alpha((\frac{sin\alpha}{cos\alpha}cos\beta)-sin\beta)}{cos\alpha(cos\beta+\frac{sin\alpha}{cos\alpha}sin\beta)}=$$\frac{cos\beta(\frac{sin\alpha}{cos\alpha}-\frac{sin\beta}{cos\beta})}{cos\beta(1+\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\cdot\frac{sin\beta}{cos\beta})}=$$\frac{tg\alpha-tg\beta}{1+tg\alpha\cdot tg\beta}$

Iloczyn funkcji i wielokrotność kąta

$\large sin\alpha\cdot sin\beta=\frac{1}{2}[cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)]\\\large cos\alpha\cdot cos\beta=\frac{1}{2}[cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha+\beta)]\\\large sin\alpha \cdot cos\beta=\frac{1}{2}[sin(\alpha-\beta)+sin(\alpha+\beta)]\\\large$
$\large sin(2\alpha)=2sin\alpha\cdot cos\alpha\\\large sin({n\alpha})=2cos{\alpha}\cdot sin({(n-1)\alpha})-sin({(n-2)\alpha})\\\large cos(2\alpha)=cos^2\alpha-sin^2\alpha=2cos^2{\alpha}-1=1-2sin^2{\alpha}\\\large cos{(n\alpha})=2cos{\alpha}\cdot cos({(n-1)\alpha})-cos({(n-2)\alpha})\\\large$
No i oczywiście...

$tg(2\alpha)=$ $\frac{sin(2\alpha)}{cos(2\alpha)}=$ $\frac{2sin\alpha\cdot cos\alpha}{cos^2\alpha-sin^2\alpha}=$ $\frac{cos^2\alpha(2\frac{sin\alpha}{cos\alpha})}{cos^2\alpha(1-\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha})}=$ $\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}$

Dobrze! Bravoo!
Niestety..

Sprawdź swoją wiedzę

Zadanie 1

Zamień miarę kątową na łukową podanej wartości: $1035^\circ$

"Niestety.."? Zaradź temu!

Przypomnij sobie wzór zamieniający miarę kątową na łukową lub skorzystaj z proporcji

Jeśli nie pamietasz tego wzoru ani proporcji to sprawdź tutaj

Oznaczmy: $x$ - szukana wartość w radianach.

Wiemy, że $\pi=180^\circ$.

Zatem: $x=\frac{1035^\circ}{180^\circ}\pi=\frac{1035}{180}\pi=\frac{5\cdot 180+135}{180}\pi=5\pi+\frac{135}{180}\pi=5\pi+\frac{3}{4}\pi=\frac{23}{4}\pi$

Dobrze! Bravoo!
Niestety..

Sprawdź swoją wiedzę

Zadanie 2

Wyznacz wartość wyrażenia: $sin(-\frac{23}{4}\pi)$

"Niestety.."? Zaradź temu!

Dla ułatwienia zamień na miarę kątową i skorzystaj z wzorów redukcyjnych

Rozwiązanie

Mamy: $$sin(-1035^\circ)=-sin(1035^\circ)=-sin(2\cdot360^\circ+315^\circ)=-sin(2\cdot360^\circ)-sin(315^\circ)=-sin(360^\circ-45^\circ)$$ $$=-sin(360^\circ)-sin(-45^\circ)=-(-sin(45^\circ))=sin(45^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}$$

Dział 3 - równania trygonometryczne

  • Przykład 1 - trywialny
  • Przykład 2 - nietrywialny
  • Przykład 3 - złożone nie znaczy trudne
  • Zadanie 1
  • Zadanie 2

Przykład 1 - trywialny

Rozwiąż równanie $sin2x=1$
Rozwiązanie:
Po podstawieniu $t=2x$ otrzymujemy równanie $sint=1$.
Rozwiązanie
Z wykresu funkcji sinus odczytujemy rozwiązania równania:

$t=\frac{\pi}{2}+2k\pi,$ gdzie $k\in\mathbb{Z}$.

Wracając do zmiennej $x$, mamy $2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$, czyli $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$, gdzie $k\in\mathbb{Z}$.

Przykład 2 - nietrywialny

Rozwiąż równanie $2cos^2x+cosx-3=0$
Rozwiązanie:
Podstawiamy $t=cosx$ i otrzymujemy równanie $2t^2+t-3=0$.

Ponieważ $2t^2+t-3=2(t+\frac{3}{2})(t-1)$, więc otrzymujemy $t=-\frac{3}{2}$ lub $t=1$.

Zatem $cosx=-\frac{3}{2}$ lub $cosx=1$.

Dlatego, że $cosx\in<-1,1>$, więc równanie $cosx=-\frac{3}{2}$ nie ma rozwiązań.

Rozwiązaniami równania $cosx=1$ są liczby postaci $x=2k\pi$, gdzie $k\in\mathbb{Z}.$

Przykład 3 - złożony nie znaczy trudny

Rozwiąż równanie $(cosx-sinx)^2+tgx=2sin^2x$
Rozwiązanie:
Założenia: $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,$ gdzie $k\in\mathbb{Z}$ (dziedzina tangensa). Przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę równania. Wówczas otrzymujemy

$(cosx-sinx)^2+tgx-2sin^2x=$ $ cos^2x-sin^2x+\frac{sinx}{cosx}-2sinxcosx=$ $ \frac{sinx-2sinxcos^2x}{cosx}+cos^2x-sin^2x=$ $ \frac{sinx(1-2cos^2x)}{cosx}+cos^2x-(1-cos^2x)=$ $tgx(1-2cos^2x)-(1-2cos^2x)=$ $(1-2cos^2x)(tgx-1)$

Zatem dane równanie możemy zapisać w postaci $(1-2cos^2x)(tgx-1)=0$.

$(1-2cos^2x)(tgx-1)=0$ $\Leftrightarrow$ $[(cos^2x=\frac{1}{2} \vee tgx=1)\wedge x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}].$

Dalej mamy $cos^2x=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow$ $(cosx=-\frac{\sqrt2}{2}\vee cosx=\frac{\sqrt2}{2})$ $\Leftrightarrow$ $(x=\frac{3}{4}\pi+2k\pi\vee x=-\frac{3}{4}\pi+2k\pi\vee x=\frac{1}{4}\pi+2k\pi\vee x=-\frac{1}{4}\pi+2k\pi),k\in\mathbb{Z}.$

Łącząc wszystkie te przypadki i uwzględniając dziedzinę otrzymujemy

$x=\frac{1}{4}\pi+\frac{1}{2}\pi k.$

Patologia - na wykresie

Patologia
$f(x)=(tgx+sinx)^2+ctgx-2tg^2x$
Patologia
$f(x)=sinx^{cos8x}\cdot cos8x^{sinx}$
Jak widać na zamieszczonych rysunkach sporządzenie wykresu nie zawsze jest proste, zatem warto nauczyć się wzorów i z uwagą przeczytać jeszcze raz ten dział.
Patologia
$f(x)=\pi\cdot cos(x^2 - 2x + \sqrt{e})$

Zadanie 1

Rozwiąż równanie: $$sinx\cdot tgx-\sqrt{3}=tgx-\sqrt{3}sinx$$

Odpowiedź

$$x=-\frac{\pi}{3}+k\pi,$$ gdzie $k\in\mathbb{Z}$

Zadanie 2

Rozwiąż równanie: $$tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}$$

Odpowiedź

$$x=\frac{\pi}{6}+k\pi \vee x=\frac{\pi}{3}+k\pi,$$ gdzie $k\in\mathbb{Z}$

Dział 4 - nierówności trygonometryczne

  • Przykład 1 - trywialny
  • Przykład 2 - nietrywialny
  • Przykład 3 - coś ciekawego
  • Zadanie 1

Przykład 1 - trywialny

Rozwiąż nierówność $cosx\leq\frac{1}{2}$
Rozwiązanie:
Na wykres $cosx$ nanosimy prostą $y=\frac{1}{2}$.
Rozwiązanie
Z wykresu odczytujemy punkty przecięcia się obu wykresów:

$x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \vee x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi,$ gdzie $k\in\mathbb{Z}$.

Następnie patrzymy, które wartości nas interesują, w tym przypadku są one na i pod wykresem funkcji $y$, czyli $x\in(\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi)$, gdzie $k\in\mathbb{Z}$.

Przykład 2 - nietrywialny

Rozwiąż nierówność $|cos(x-\frac{\pi}{2})|\geq\frac{\sqrt{3}}{2}$
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru $|x|\geq a \Leftrightarrow x\geq a \vee x\leq-a$ oraz podstawiamy $t=x-\frac{\pi}{2}.$ Otrzymujemy $$cost\geq\frac{\sqrt{3}}{2}\vee cost\leq-\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Rozwiązanie

Z wykresu odczytujemy punkty przecięcia się wykresów $cost$ z $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ i $y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$: $t_1=-\frac{\pi}{6}+2k\pi \vee t_2=\frac{\pi}{6}+2k\pi\vee t_3=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\vee t_4=\frac{7\pi}{6}+2k\pi,$ gdzie $k\in\mathbb{Z}$. Odpowiedzi te możemy skrócić do postaci $t_1=-\frac{\pi}{6}+k\pi \vee t_2=\frac{\pi}{6}+k\pi.$ Następnie patrzymy, które wartości są przez nas szukanymi, w tym przypadku są one na i pod wykresem funkcji $y=-\frac{\sqrt3}{2}$ oraz na i nad wykresem funkcji $y=\frac{\sqrt3}{2}$, czyli $t\in(-\frac{\pi}{6}+k\pi,\frac{\pi}{6}+k\pi)$, gdzie $k\in\mathbb{Z}$. Ostatecznie podstawiając $t=x-\frac{\pi}{2}$ otrzymujemy $x\in(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{2\pi}{3}+k\pi)$, gdzie $k\in\mathbb{Z}$.

Przykład 3 - złożony nie znaczy trudny

Rozwiąż nierówność $4sin^3x>cos(2x)$
Rozwiązanie:
Zacznijmy od przedstawienia nierówności w postaci $4sin^3x>cos^2x-sin^2x.$ Przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę. Wówczas otrzymujemy

$4sin^3x-cos^2x+sin^2x>0$ $\Leftrightarrow$ $4sin^3x+sin^2x-(1-sin^2x)>0$ $\Leftrightarrow$ $4sin^3x+2sin^2x-1>0$

Podstawiamy $t=sinx$

$$4t^3+2t^2-1>0$$ Jest to nierówność wielomianowa. Dla funkcji $4t^3+2t^2-1$ wyznaczamy miejsca zerowe. $(t-\frac{1}{2})(4t^2+4t+2)>0$

$4t^2+4t+2>0$ jest to spełnione dla każdego $t\in\mathbb{R}$

Zatem rozpatrujemy tylko $t-\frac{1}{2}>0$. Możemy wrócić do podstawienia $t=sinx$ $$sinx-\frac{1}{2}>0$$ I w ten sposób otrzymujemy trywialną nierówność. Po prostych obliczeniach otrzymujemy $$x\in(\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi).$$

Zadanie 1

Rozwiąż nierówność: $$sin^3x\cdot cosx-cos^3x\cdot sinx <\frac{1}{4}$$

Odpowiedź

Dziękujemy za uwagę! :)