Czy istnieje zbiór wszystkich zbiorów?

Według aksjomatyki Zermelo-Fraenkla nie może istnieć zbiór wszystkich zbiorów. Gdyby istniał taki zbiór, musiałby on jako jeden ze swoich elementów zawierać samego siebie. Oczywiście można spróbować zdefiniować zbiór, zawierający samego siebie, jednak nie będzie on spełniał aksjomatów Zermelo-Fraenkla. Aksjomaty_Zermelo-Fraenkela

Na przykład zbiór obiektów, które nie są psami zawiera samego siebie jako element (wszak zbiór "nie psów" nie jest psem), ale z punktu widzenia aksjomatyki teoriomnogościowej jest do niczego.

Paradoks Russella

Rozważmy zbiór $V$ zawierający wszystkie (i tylko takie) zbiory $X$ takie, że $X$ nie jest elementem $X$.

Zadajmy teraz pytanie - czy $V$ jest elementem $V$?

Jeśli tak, to wtedy $V$ nie spełnia własności elementów zbioru $V$, więc nie jest elementem $V$. Jeśli zaś założymy, że $V$ nie jest elementem $V$, to wtedy (zgodnie z definicją $V$) $V$ musi być elementem $V$. W ten sposób dochodzimy do sprzeczności

.
2016©Marta Stawna, Joanna Gdaniec